Sebagaimana pada skalar, operasi-operasi matematika juga berlaku bagi vektor. Di tulisan ini, kita akan membahas operasi penjumlahan (dan sekaligus pengurangan) pada vektor. Syarat dua vektor (atau lebih) bisa dijumlahkan adalah vektor-vektor tersebut mempunyai jumlah elemen yang sama, atau dengan kata lain, ukuran vektor-vektor tersebut harus sama persis.

Dua vektor yang dijumlahkan akan menghasilkan vektor lain yang ukurannya sama dengan vektor-vektor yang dijumlahkan tersebut. Operasi penjumlahan pada vektor dilakukan dengan menggunakan operator \(+\). Sebagai contoh,

\[\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 7\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 7\\ 10\\ \end{bmatrix}\]

Perhatikan bahwa penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen dengan posisi yang sama pada kedua vektor. Pengurangan vektor (dilakukan dengan operator \(-\)) juga dilakukan dengan prosedur serupa. Contohnya,

\[\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 7\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}\]

Sifat Penjumlahan Vektor

Misalnya kita punya 3 vektor, katakanlah \(a\), \(b\), dan \(c\). Operasi penjumlahan pada ketiga vektor ini mempunyai sifat-sifat berikut:

  • \(a+b=b+a\), sifat ini dinamakan sifat komutatif
  • \((a+b)+c=a+(b+c)\), sifat ini dinamakan sifat asosiatif
  • \(a+0=a\), sifat ini menunjukkan bahwa penambahan sebuah vektor dengan vektor nol sama sekali tidak mempengaruhi vektor tersebut. Ingat bahwa 0 di sini adalah vektor (bukan skalar) yang ukurannya sama dengan ukuran vektor \(a\)
  • \(a-a=0\), sifat ini menunjukkan bahwa pengurangan sebuah vektor dengan vektor itu sendiri akan menghasilkan vektor nol. Ingat kembali bahwa 0 di sini adalah vektor dan bukan skalar, ukurannya sama dengan ukuran vektor \(a\)

Pembuktian sifat-sifat ini tidak terlalu sulit. Mari kita tunjukkan sifat komutatif dengan mengambil contoh “perpindahan benda”. Kita akan mengambil vektor \(a\) dan \(b\) untuk merepresentasikan dua perpindahan. Perhatikan ilustrasinya di Gambar 1.

Gambar 1. Ilustrasi sifat komutatif penjumlahan vekor a dan b

Di Gambar 1, gambar sebelah kiri menunjukkan jumlahan \(a+b\) sebagai perpindahan total dengan mengambil perpindahan \(a\) di awal, diikuti perpindahan \(b\). Di gambar sebelah kanan, perpindahan \(b\) dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian perpindahan \(a\). Hasil perpindahan totalnya adalah \(b+a\). Bisa dilihat bahwa panjang dan arah \(a+b\) sama persis dengan panjang dan arah \(b+a\). Ilustrasi ini membuktikan sifat komutatif penjumlahan vektor.

Sifat-sifat penjumlahan vektor yang lain bisa dibuktikan menggunakan ilustrasi yang sama, atau langsung menggunakan angka-angka. Insya Allah tidak terlalu sulit.