Setelah sebelumnya kita membahas perkalian antara skalar dan vektor, kali ini kita berpindah ke perkalian antar vektor. Perkalian antar vektor disebut juga perkalian dalam (inner product), perkalian standar (standard product), atau perkalian titik (dot product). Mari kita pelajari aturan main perkalian antar vektor ini dan kita lihat contoh-contohnya.

Misalkan kita punya dua vektor \(x\) dan \(y\). Perkalian titik antara \(x\) dan \(y\) dituliskan dengan beberapa notasi, yaitu \(x^Ty\), \(\langle x,y\rangle\), \(\langle x\vert y \rangle\), \((x,y)\), dan \(x\cdot y\). Kita akan gunakan penulisan yang pertama disebut, yaitu \(x^Ty\). Apabila \(x\) dan \(y\) masing-masing memiliki \(n\) elemen, \(x^Ty\) dapat dijabarkan dalam persamaan skalar berikut,

\[x^Ty=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\]

Huruf \(T\) superscript pada \(x\) di atas merepresentasikan operasi “transpose”. Dalam konteks vektor ini, transpose adalah operasi pengubahan vektor dari vektor kolom menjadi vektor baris tanpa mengubah urutan elemen-elemennya. Sebagai contoh, kita akan melakukan operasi perkalian titik antara vektor \((4,2,-5)\) dan vektor \((-1,3,7)\). Penjabarannya adalah sebagai berikut,

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 4\\ 2\\ -5\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 7\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & -5\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 7\\ \end{bmatrix}\\ &=(4)(-1)+(2)(3)+(-5)(7)\\ &=-33 \end{split}\]

Perhatikan bahwa hasil perkalian titik antara dua vektor adalah skalar. Jangan sampai keliru ya 😐.

Selanjutnya, sebagaimana operasi perkalian skalar-vektor, operasi perkalian titik antar vektor juga memiliki beberapa sifat. Misalkan kita punya tiga vektor \(x\), \(y\), dan \(z\), serta sebuah skalar \(\alpha\), sifat-sifat operasi perkalian dapat dijelaskan sebagai berikut,

  • Sifat komutatif, yakni \(x^Ty=y^Tx\)
  • Sifat asosiatif (melibatkan perkalian dengan skalar), yakni \((\alpha x)^Ty=\alpha(x^Ty)\), yang bisa juga ditulis \(\alpha x^Ty\)
  • Sifat distributif, yakni \((x+y)^Tz=x^Tz+y^Tz\)

Kombinasi dari sifat-sifat tersebut bisa menghasilkan sifat/identitas yang lain, misalnya

  • \(x^T(\alpha y)=\alpha (x^Ty)\) \(\)
  • \(x^T(y+\alpha z)=x^Ty+\alpha x^Tz\) \(\)
  • \((w+x)^T(y+z)=\) \(w^Ty+w^Tz+x^Ty+x^Tz\)

Mari kita ambil satu contoh untuk membuktikan identitas yang disebut terakhir di atas. Misalnya kita punya empat vektor berikut,

\[w= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}, x= \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}, y= \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5\\ \end{bmatrix}, z= \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix}\]

Mari kita hitung \((w+x)^T(y+z)\) terlebih dahulu

\[\begin{split} (w+x)^T(y+z)&= \left(\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}\right)^T \left(\begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix}\right)\\ &= \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ 7\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 7\\ 9\\ 11\\ \end{bmatrix}\\ &=(3)(7)+(5)(9)+(7)(11)\\ &=143 \end{split}\]

Kemudian, mari hitung \(w^Ty+w^Tz+x^Ty+x^Tz\),

\[\begin{split} w^Ty+& w^Tz+x^Ty+x^Tz\\ &= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix}\\ &= 26+32+38+47\\ &=143 \end{split}\]

Terbukti bukan kalau hasilnya sama. Dengan cara serupa, pembuktian sifat-sifat yang lain silakan bisa dicoba sendiri. Dan selalu ingat ya bahwa hasil dari operasi-operasi di atas adalah skalar.

Next, kita akan melihat bagaimana operasi perkalian titik yang melibatkan vektor-vektor spesial. Perhatikan poin-poin berikut,

  • Vektor unit: \(e_i^Tx=x_i\). Perkalian titik antara vektor \(x\) dengan vektor unit ke-\(i\) menghasilkan elemen ke-\(i\) dari vektor \(x\)
  • Jumlahan: \(\mathbf{1}^Tx=x_1+...+x_n\). Perkalian titik antara vektor \(x\) dengan vektor satu menghasilkan jumlahan dari elemen-elemen vektor \(x\) itu sendiri
  • Rata-rata: \((\mathbf{1}/n)^Tx=(x_1+...+x_n)/n\). Perkalian titik antara vektor \(x\) dengan vektor \((\mathbf{1}/n)\) menghasilkan rata-rata (average) dari elemen-elemen vektor \(x\). Nilai rata-rata dari elemen-elemen \(x\) ini biasa dinotasikan dengan \(\mathbf{avg}(x)\), atau kadang-kadang dengan huruf yunani \(\mu\)
  • Jumlahan kuadrat: \(a^Ta=a_1^2+...+a_n^2\). Perkalian titik antara vektor \(x\) dengan dirinya sendiri menghasilkan jumlahan kuadrat (sum of squares) dari elemen-elemen vektor \(x\) tersebut
  • Jumlahan selektif. Misalkan \(y\) adalah vektor yang elemen-nya hanya berupa angka 0 atau 1. Maka \(y^Tx\) adalah jumlahan dari elemen-elemen vektor \(x\) dimana \(y_i=1\)